• Leetcode 3463. Check If Digits Are Equal in String After Operations II
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

• 题目链接：3463. Check If Digits Are Equal in String After Operations II

1. 解题思路

这道题是题目Leetcode 3461的进阶版本，其实就是提高了对于算法效率的要求。

这道题我们实际就是要求s[:-1]和s[1:]这两个字符串操作为最终一个字符之后的值是否相同。而将一个数字字符串按照给定操作变成最终一个字符，其原始字符串当中每一位参与的次数事实上就是一个杨辉三角，这个是很明显的。

因此，这里的问题事实上就变成了如何快速求出杨辉三角的第$n$行的全部元素。考虑到我们最终是要考虑其个位数，因此事实上我们要求的是杨辉三角的第$n$行上每一个元素的个位数，即其对$10$的模。

有数学知识我们可以得到，杨辉三角的第$n$行的第$k$个元素事实上就是组合数$C_n^k$，但是当我们要求其对$10$的模的时候，这个问题就变得有点复杂了。不过，考虑到$10=2\times 5$，然后由中国剩余定理，我们只需要分别求出$C_n^k$对$2$和$5$的余数，我们就必然可以一一对应的找出其对于$10$的余数，这个简单关系如下：

但是，实际做题的时候我被卡在了这一步，后面没有搞定，但是问了一下deepseek之后，它给出了一个非常数学的解法，即使用Lucas定理进行快速求解。

我们首先给出Lucas定理的说明：

对于一个组合数$C_n^k$，要求其对于某一个素数$p$的模，我们只需要将$n,k$分别展开为$p$进制数，即：
$$\begin{array}{rl}n& =\sum _{i=0}^m{n}_i\cdot p^i\\ k& =\sum _{i=0}^m{k}_i\cdot p^i\end{array}$$
则我们有：
$$C_n^k\equiv \underset{i=0}{\overset{m}{\Pi }}{C}_{n_i}^{k_i}(modp)$$

由此，我们就可以在任意$O(lo{g}_{p}n)$的算法复杂度范围内求出任意组合数$C_n^k$关于$2$或$5$的模了，进而，由上述模的对应关系，我们即可得到我们的最终答案。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

def comb_mod2(n, k):
    """ 计算 C(n, k) mod 2 """
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    # 检查k的二进制位是否均为n对应位的子集
    return 0 if (k & ~n) else 1

# 预计算C(ni, ki) mod5的值（ni和ki为0-4）
mod5_comb_table = [
    [1, 0, 0, 0, 0],  # n=0
    [1, 1, 0, 0, 0],  # n=1
    [1, 2, 1, 0, 0],  # n=2
    [1, 3, 3, 1, 0],  # n=3
    [1, 4, 1, 4, 1],  # n=4（C(4,2)=6 mod5=1，C(4,3)=4 mod5=4）
]

def comb_mod5(n, k):
    """ 计算 C(n, k) mod 5 """
    result = 1
    while n > 0 or k > 0:
        ni = n % 5
        ki = k % 5
        if ki > ni:
            return 0
        # 查预计算表获取C(ni, ki) mod5
        result = (result * mod5_comb_table[ni][ki]) % 5
        n = n // 5
        k = k // 5
    return result

# 中国剩余定理映射表（a mod2，b mod5）→ 结果 mod10
crt_map = {
    (0, 0): 0,
    (0, 1): 6,
    (0, 2): 2,
    (0, 3): 8,
    (0, 4): 4,
    (1, 0): 5,
    (1, 1): 1,
    (1, 2): 7,
    (1, 3): 3,
    (1, 4): 9,
}

def get_element_mod10(i, j):
    """ 计算杨辉三角第i行第j个元素的个位数（索引从0开始） """
    if j < 0 or j > i:
        return 0
    a = comb_mod2(i, j)   # 计算模2
    b = comb_mod5(i, j)   # 计算模5
    return crt_map[(a, b)]

class Solution:
    def hasSameDigits(self, s: str) -> bool:
        n = len(s)
        weights = [get_element_mod10(n-2, i) for i in range(n-1)]
        
        def fn(s):
            ans = 0
            n = len(s)
            for i, ch in enumerate(s):
                digit = int(ch)
                ans = (ans + weights[i] * digit) % 10
            return ans
        
        return fn(s[:-1]) == fn(s[1:])

提交代码评测得到：耗时1443ms，占用内存19.2MB。